Справочник по геометрии (7-9 класс)

Треугольник – геометрическая фигура, Р АВС = АВ+ВС+СА. кот-ая состоит из 3 точек, не лежащих на 1 прямой, соединённых отрезками. В равных треугольниках против Треугольник с вершинами А, В, С и соответственно равных сторон Сторонами а, b , c . лежат равные углы, также против соответственно равных равных углов лежат равные стороны.

Теорема: Если 2 стороны и угол Теорема: Из точки, не лежамежду ними 1-го треугольника щей на прямой, можно провести соответственно равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом и углу между ними другого только один. треугольника, то треугольники равны.

Отрезок, соединяющий вершину треуг - Отрезок бисс-сы угла треуг-ка , ка с серединой противоположной стосоединяющий вершину треуг-ка роны , называется медианой треуг-ка . с точкой противоположной сторо - ны , называется бисс-сой треуг-ка . Перпендикуляр, проведённый из вершины треуг-ка к прямой, содержащей Треуг-к , у кот-го 2 стороны равны, противоположную сторону, называ - называется равнобедренным. ется высотой треуг-ка . Теорема: В равнобедренном треуг-ке ВН - высота треуг-ка АВС. углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном Высота равнобедренного треуг-ка , протреуг-ке бисс-са , проведённая ведённая к основанию, является медианой к основа-нию , является и бисс-сой . медианой и высотой.

Медиана, проведённая к основанию, явля - ется высотой и бисс-сой . Теорема: Если сторона и 2 Теорема: Если три стороны 1го прилежащих к ней угла 1го треуг-ка соответственно равны 3ём треуг-ка соответственно рав - сторонам другого треуг-ка , то такие ны стороне и 2 прилежащим к треуг-ки равны. ней углам другого треуг-ка , то такие треуг-ки равны.

Определение: Окружность называется геометр-ая фигура, состоя-щая из всех точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки. Глава I I I . Параллельные прямые.

Определение: Две прямые Теорема: Если при пересечении 2 пряна плоскости параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав - если они не пересекаются. ны , то прямые параллельны. Теорема: Если при пересечении 2 пряНакрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6. мых секущей соответственные углы рав - Односторонние – 4 и 5, 3 и 6. ны , то прямые параллельны.

Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7. Теорема: Если при пересече - Теорема: Если две параллельные прянии 2 прямых секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест односторонних углов равна лежащие углы равны. 180 , то прямые параллельны.

Теорема: Если две прямые пересечены Теорема: Если две парал - секущей, то сумма односторонних углов лельные прямые пересечены равна 180 . секущей, то соответственные углы равны. Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

Теорема: Сумма углов Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре - треуг-ка = 180 . уг-ка , не смежных с ним. В любом треугольнике либо Теорема: В треуг-ке против большей стовсе углы острые, либо два роны лежит больший угол, против большего два угла острые, а третий угла лежит большая сторона. тупой или прямой. В прямоугольном треуг - ке гипотенуза Если два угла треуг-ка равны, то больше катета. треуг-к – равнобедренный.

Теорема: Каждая сторона Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на треугольника меньше суммы одной прямой, справедливы неравенства: 2 других сторон. АВ AB + BC , ВС Сумма двух острых углов пряКатет прямоугольного треуг-ка , лежащий моугольного треуг-ка = 90 . против угла в 30 , равен ½ гипотенузы. Если катет прямоугольного треуг - Если катеты 1го прямоугольного треуг - ка = ½ гипотенузы, то угол, лежака соответственно = катетам другого щий против этого катета, = 30 . , то такие треуг-ки равны. Если катет и прилежащий к нему Теорема: Если гипотенуза и острый острый угол 1го прямоугольного угол 1го прямоугольного треуг-ка соот - треуг-ка соответственно равны ветственно равны гипотенузе и острокатету и прилежащему к нему му углу другого, то такие треуг-ки равны. острому углу другого, то такие треугольники равны.

Теорема: Если гипотенуза и катет 1го прямоугольного треуг-ка соответственТеорема: Все точки каж - но равны гипотенузе и катету другого, дой из 2 параллельных прямых то такие треугольники равны. равноудалены от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки 1ой из параллельных прямых до другой прямой называется прямой называется расстоянием между этими прямыми. 8 класс. Глава V . Многоугольники. Сумма углов выпуклого n -угольника В параллелограмме противоположные = ( n -2)180 . стороны равны и противоположные углы равны.

Диагонали параллелограмма точ - кой пересечения делятся пополам. Если в 4-угольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот 4-угольник – параллелограм . Если в 4-угольнике противопо - ложные стороны попарно равны, Если в 4-угольнике диагональю пересе - то этот 4-угольник – параллело - каются и точкой пересечения делятся грамм. пополам, то этот 4-угольник – парал - лелограмм . Трапецией называется 4-угольник, у кот-го 2 стороны параллельны, а Прямоугольником называется парал - 2 другие стороны не параллельны. лелелограмм , у кот-го все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны. Если в параллелограмме дигонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольРомбом называется параллело - ник. грамм, у кот-го все стороны равны.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадкатом называется прямоугольник, у кот-го все стороны Все углы квадрата равны. равны.

Диагонали квадрата равны, взаимно Фигура называется симметричной перпендикулярны, точкой пересечения относительно прямой а, если для делятся пополам и делят углы каждой точки фигуры симметричная квадрата пополам. ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре.

Прямая а называется осью симметрии.

Фигура называется симметричной Точка О называется центром симмет - относительно точки О, если для рии фигуры. каждой точки фигуры симметрич - ная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Глава VI . Площадь.

Равные многоугольники имеют S квадрата равна квадрату его стороны.

Равные S . Если многоугольник составлен из Теорема: S прямоугольника = пронескольких многоугольников, то изведению его смежных сторон. Его S = сумме площадей этих многоугольников.

Теорема: S параллелограмма = произведению его основания на высоту.

Теорема: S треугольника = = произведению его основания S прямоугольного треугольника = 1/2 на высоту. произведения его катетов. Если высоты 2ух 3-угольников Теорема: Если угол 1го 3-угольника равны, то их S относятся равен углу другого 3-угольника, то S как основания. этих 3-угольников относятся как произведения сторон, заключающих равные Теорема: S трапеции = проуглы. изведению полусуммы её осно - ваний на высоту.

Теорема: В прямоугольном 3-угольнике квадрат гипотенузы = сумме квадра - Теорема: Если квадрат 1ой тов катетов. стороны 3-угольника = сумме квадратов 2 других сторон, то 3-угольник прямоугольный. Глава VII . Подобные треугольники.

Определение: 2 3-угольника Теорема: Отношение S 2ух подоб - называются подобными, если их ных 3-угольников = квадрату коэф - углы соответственно равны и фициента подобия. стороны 1го 3-угольника пропорционально сходственны Теорема: Если 2 угла 1го 3-угольсторонам другого. ника соответственно = 2ум углам другого, то такие 3-угольники поТеорема: Если 2 стороны 1го добны . 3-угольника пропорциональны 2ум сторонам другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо - нами, равны, то такие 3-угольники подобны.

Теорема: Если 3 стороны 1го Теорема: Средняя линия параллель- 3-угольника пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой 3ём сторонам другого, то такие стороны. 3-угольники подобны. sin острого угла прямоугольного cos острого угла прямоугольного 3-уголь- 3-угольника – отношение ника – отношение прилежащего катета противолежащего катета к к гипотенузе. гипотенузе. tg угла = отношению sin к cos tg острого угла прямоугольного этого угла: tg = sin / cos . 3-угольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Основное тригонометрическое тождество: Если острый угол 1го прямоугольного sin 2 + cos 2 =1. 3-угольника = острому углу другого прямоугольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

Прямая является секущей. точки.

Прямая является касательной. Если расстояние от центра окруж - Теорема: Касательная к окруж - ности до прямой > радиуса, то пряности перпендикулярна к r , прове - мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания. точек.

Теорема: Если прямая проходит Отрезки касательных к окружнос - через конец r , лежащий на окруж - ти , проведённые из 1ой точки, рав - ности , и перпендикулярна к этому ны и составляют равные углы с r , то она является касательной. прямой, проходящей через эту точ - ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью. Угол с вершиной в центре окруж - Если дуга АВ окружности с центром ности — её центральный угол. О полуокружностью, то её градусная Сумма градусных мер 2ух дуг ок - мера считается равной градусной ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же = 360°. дуга АВ > полуокружности, то её градусная мера считается = Угол, вершина кот-го лежит на = 360°– окружности, а стороны пересе - кают окружность, называется Теорема: Вписанный угол измеряявписанным углом. ется ½ дуги, на кот-ую он опирается. Луч ВО совпадает с 1ой из стоЛуч ВО делит угол АВС на 2 угла, если рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС. Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту угла и не совпадает со сторонаже дугу, равны. ми этого угла, если луч ВО не пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, -- прямой.

Теорема: Если 2 хорды ок - Теорема: Каждая точка бисс-сы ружности пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена произведение отрезков 1ой от его сторон.

Каждая точка, ле - хорды = произведению отрезжащая внутри угла и равноудалённая ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се . Бисс-сы 3-угольника пересека - Серединным перпендикуляром к отрезку ются в 1ой точке. называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная Теорема: Каждая точка сек нему. рединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо - этого отрезка.

Каждая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой равноудалённая отконцов отрезточке. ка , лежит на серединном перпен - дикуляре . Теорема: в любой 3-угольник мож - но вписать окружность.

Теорема: Высоты 3-угольника (или их продолжения) пересека - В 3-угольник можно вписать только 1у ются в 1ой точке. окружность.

Теорема: Около любого треу - В любом вписанном 4-угольнике сумма гольника можно онисать окруж - противоположных углов = 180°. ность . Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность. Глава IX . Векторы.

Физические величины, характери - Определение: Отрезок, для котзуещиеся направлением в простго указано, какой из его концов счи - ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом, называется вектором. Длина (модуль) – длина АВ. Длина нулевого вектора = 0. Нулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково, либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены. параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеар - Если 2 вектора направлены противопо - ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра - влены . Определение: Векторы, называются равными, если От любой точки М можно отложить они сонаправлены и их дливектор, равный данному вектору , и ны равны. притом только один.

Теорема: для любых векторов , и справедливы равенства: 1. + = + (переместительный закон); 2. ( + )+ = +( + ). Теорема: Для любых векто - Произведение любого вектора на число ров и справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор. – = + ( - ). Для любого числа k и любого векто - ( kl ) = k ( l ) (сочетательный закон); ра векторы и k коллинеарны . ( k + l ) = k + l (1ый рспред-ный закон); k ( + )= k + k . Теорема: Средняя линия тра - пеции параллельна основаниям и = их полусумме . 9 класс. Глава X . Метод координат. Лемма: Если векторы и Теорема: Любой вектор можно разколлинеарны и =0, то сущес - ложить по 2ум данным неколлинеар - твует такое число k , что = k . ным векторам, причём коэффициен - ты разложения определяются единКаждая координата суммы 2ух ственным образом. векторов = сумме соответству - ющих координат этих векторов.

Каждая координата произведения вектора на число = произведению соот - Каждая координата разности ветствующей координаты вектора 2ух векторов = разности соот - на это число. ветствующих координат вектора на это число.

Координаты точки М = соответству - ющим координатам её радиус-вектора.

Каждая координата вектора = разности соответствующих коКаждая координата середины отрезка ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих координат его концов. Глава XI . Соотношения между сторонами и углами 3-угольника.

Скалярное произведение векторов. Для любого угла из промежут - tg угла ( =90°) называется отношение ка 0° sin угла называ - sin / cos . ется ордината у точки М, а cos угла – абсцисса х угла . sin (90°-- )= cos Теорема: S 3-угольника = ½ Теорема: Стороны 3-угольника пропроизведения 2ух его сторон на порциональны sin противолежащих sin угла между ними. углов.