Закон логики предикатов

Формула А описанного языка логики предикатов является законом данной логической системы, то есть (⊨А) е. т. е. при любой ее интерпретации и при любых приписываниях зна­чений ее свободным предметным переменным в заданной области D. Получаемое высказывание является истинным. Законы логики предикатов называются также универсально-общезначимыми формулами логики предикатов.

Формула А называется общезначимой в некоторой области D е. т. е. она истинна при любых приписываниях значений ее дескриптивным терминам и свободным переменным в этой об­ласти D. Формула А называется выполнимой, если она истин­на при какой-нибудь интерпретации и при каком-нибудь при­писывании значений ее свободным предметным переменным. В противном случае она называется невыполнимой.

Поскольку в язык логики предикатов, как это иногда де­лается, мы не включаем пропозициональные переменные, никакая формула логики высказываний не является форму­лой логики предикатов. Однако из любого закона логики вы­сказываний получается закон логики предикатов при подста­новке вместо пропозициональных переменных любых фор­мул логики предикатов (при замене каждого вхождения ка­кой-нибудь пропозициональной переменной одной и той же формулой логики предикатов; хотя не исключается при этом замена разных пропозициональных переменных одной и той же формулой логики предикатов).

Так же, как и в логике высказываний, здесь введением указанных понятий — законов логики предикатов и логиче­ского следования — в сочетании с определениями логиче­ских констант задается бесконечное множество случаев от­ношения логического следования и бесконечное множество законов логики. Однако в отличие от логики высказываний мы не имеем теперь общих процедур для решения вопросов о том, имеет ли место отношение логического следования между множеством формул Г и формулой В (или между дву­мя формулами А и В) и является ли некоторая формула А за­коном логики. Эта специфика логики предикатов характери­зуется как неразрешимость этой теории относитель­но универсальной общезначимости формул. Эта ограничен­ность наших возможностей здесь является платой за отказ от принимаемых в логике высказываний абстракций относи­тельно структур некоторых высказываний.

Как и в логике высказываний, мы имеем здесь связь между отношением следования и закона­ми логики. Она позволяет сводить вопрос о наличии или отсутствии отношения следования для конечных множеств формул к вопросу о том, является ли некоторая формула универсально общезначимой. Имеется в виду связь

А1, .... Аn ⊨ В е. т. е. ⊨ (А1 ⊃ (А2⊃ (А2 ⊃ ... (Аn⊃  В) ...));

последняя же, как мы видели раньше, равносильна ⊨ ((А1 &А2 & ... &An) ⊃ В)  — при любой расстановке скобок в конъюнкции согласно правилам построения формул.

В связи с отмеченной неразрешимостью логики предика­тов особое значение приобретает здесь формализация поня­тий следования и закона логики посредством построения ло­гических исчислений. Именно исчисление дает возможность во многих случаях синтаксическим образом решать вопрос, является ли некоторая формула законом, или соответственно есть ли некоторое отношение следования, когда мы не мо­жем решить этот вопрос посредством семантического анали­за. Для логики высказываний исчисление высказываний, во­обще говоря, не является необходимым. Оно скорее нужно как часть логического исчисления для формул ЯЛП.