Свободные и связанные вхождения переменных в формулы

Каждый случай, когда в последовательности знаков, пред­ставляющей собой формулу А, встречается предметная пере­менная x, называется вхождением этой переменной; каждое вхождение в формулу А предметной переменной x в часть вида ∀x В или ∃ х В, называется связанным. Под­формула В формул указанного вида называется областью действия соответственно квантора общности ∀  и квантора существования ∃ с переменной x. Связанным является вхождение переменной, стоящей непосредственно за квантором, и каждое вхождение ее в область действия квантора. Всякое вхождение х в отличие от указанного, на­зывается свободным. Переменная х, имеющая связанные вхождения и формулу А, называется связанной в этой формуле; переменная, имеющая свободные вхождения в формулу А, называется свободной в этой формуле.

Обратим внимание на то, что согласно определению свободной и связанной переменной одна и та же переменная в одной и той же формуле может быть свободной и связанной. Такова, например, переменная  x₁ в формуле ∀ x₁ P¹(x₁) ∨ Q²(x₁, x₂);  переменная x₂

 является здесь свобод­ной, но не связанной. Мы рассматриваем здесь только такие термы, в которых все переменные могут иметь лишь свобод­ные вхождения, и, значит, являются свободными переменны­ми. Формула и терм, не содержащие свободных переменных, называются соответственно замкнутой формулой и замкнутым т е р м о м (очевидно, что для рассмат­риваемых здесь термов, если терм замкнут, то он вообще не содержит переменных.