Правила приписывания истинностных значений интерпретированным формулам, не содержащим свободных переменных

Приписывание истинностных значений полностью интерпретированным формулам.

Напомним, что полностью интерпретированная форму­ла — это формула, в которой осуществлена интерпретация дескриптивных постоянных и приписано значение всем сво­бодным переменным, если таковые имеются в ней. Каждая такая формула представляет собой определенное высказыва­ние — с определенным смыслом и истинностным значени­ем — но лишь при условии, если нам известны значения встречающихся в ней — явным или неявным образом — ло­гических констант, (которые и определяются рассматривае­мыми правилами III). Явным образом указываются — в сложных формулах — логические константы, перечислен­ные в списке исходных символов. Простые атомарные фор­мулы видов Pⁿ (t₁, …,tn)

по-видимому, не содержат логиче­ских констант. Однако, неявным образом здесь присутствует логическое отношение принадлежности свойства Р некото­рому предмету t при n= 1 или о наличии отношения Pⁿ  меж­ду предметами  t₁, …,tn из области D.

Определение значений всех логических терминов, как явно обозначенных, так и неявно содержащихся в форму­лах, осуществляется как раз посредством правил приписыва­ния истинностных значений полностью интерпретирован­ным формулам нашего языка (строго говоря, мы имеем здесь так называемое неявное определение логических констант, но они достаточны для понимания того, какой именно смысл они придают нашим высказываниям).

Правила эти таковы. Значение простого (атомарного) вы­сказывания Pⁿ (t₁, …,tn), n >= 1, определяется в зависимости от заданных значений термов t₁, …,tn и предикатора Pⁿ   . Оно за­висит от характера предметов данной предметной области. Положим, имеем формулу: P²(f¹₁ (a₁), f¹₁(a₂)). Предположим, что согласно заданной интерпретации D — множество лю­дей: Р2 означает «больше»: f¹₁  «возраст»: a₁ — Петров, a₂ — Сидоров. Вся формула представляет собой высказывание «Возраст Петрова больше, чем возраст Сидорова». Высказывание истинно или ложно в зависимости от того, имеет или не имеет место данное отношение между возрастами Петрова и Сидорова.

Заметим, что в части лексики мы перевели здесь высказыва­ние, полученное из определенной формулы рассматриваемого язы­ка (ЯКЛП), по существу на обычный естественный русский язык. В самом ЯКЛП знаковой формой его является упомянутая формула. Подобные переводы обычно напрашиваются сами собой в силу того, что задание значений отдельных терминов — составляющих формулу — осуществляется посредством выражений естественно­го языка. Мы говорим «значение Р2 — больше, a₁  и a₂  — соответ­ственно Сидоров и Петров» и т. п.). Это значит, что приписывание предметных значений выражениям описываемого языка осуще­ствляется методом перевода их в тот или иной естественный язык. Может показаться, что при упомянутых переводах высказываний данного языка на естественный теряется та самая точность их вы­ражений, ради достижения которой как раз и строятся формализо­ванные языки. Однако точность здесь по сравнению с естествен­ными языками достигается не за счет более точною употребления отдельных терминов, — достаточная точность их уже должна быть обеспечена при осуществлении интерпретации выражений форма­лизованного языка — а за счет определенных, стандартных спосо­бов построения высказываний и их логических форм. И она имен­но сохраняется, или точнее сказать, должна сохраняться при ука­занных переводах.

Для сложных формул имеем, предполагая, что все составляю­щие их формулы полностью интерпретированы.

Формула вида А & В имеет значение «истина» — при данной интерпретации и приписывании значений свободным перемен­ным — е. т. е. А имеет значение И и В имеет значение И.

Формула A v В — истина е. т. е. значение А равно И или значе­ние В равно И.

Формуле вида  А ⊃ В приписывается значение И е. т. е. А имеет значение Л или В имеет значение И.

Значением формул вида ¬А является И е.т.е. значение А есть Л.

Формула вида ∀х А(х) имеет значение «истина» е. т. е. для вся­кого предмета а(i) из D, А(а(i)) — истина (А(а(i)) — результат заме­щения всех свободных вхождений х в А(х) константой а(i)¹).

Формула вида ∃ х А(х) имеет значение истина е. т. е. существует предмет а в области D такой, что истинна формула A(a(i)).

Если значение некоторой формулы не является И, то она имеет значение Л, но никакая формула не имеет одновременно значения И и Л.

Как уже говорилось, правила приписывания истинностных зна­чений полностью интерпретированным формулам неявным обра­зом определяют также значения логических констант «&», «v», «⊃ », «¬»   и кванторов ∀ и ∃ и вместе с тем и смыслы высказыва­ний, образованных посредством соответствующих констант. На­пример, высказывания вида   ∀х А(х) , ∃  х А(х) ,относящиеся к неко­торой области индивидов D, мы должны понимать, соответственно, как «для всякого предмета х из D верно А(х}» и «существует пред­мет х в D такой, что верно А(х)». Нетрудно видеть, что &, v, ⊃ ,¬ , представляют собой здесь логические связки — знаки функций ис­тинности, — определенные ранее в разделе «Логика высказыва­ний», но теперь применительно к формулам ЯЛП.