Правила определения (задания) возможных значений предметных переменных

Интерпретация состоит, во-первых, в выборе некоторо­го непустого множества D индивидов, предметов того или иного типа, к которым могут относиться образуемые из тех или иных формул языка высказывания. Индивиды — любые предметы в широком смысле этого слова, структура которых не учитывается, и которые можно отличать друг от друга. В качестве такой области D можно взять множество людей, растений, городов, чисел и т. д.; возможно, также объедине­ние в одной области множеств различных предметов, напри­мер, людей, городов, домов (положим, для выражения выска­зываний о местах жительства людей). Но при этом все различные предметы, рассматриваются именно как индивиды. Область D — это область возможных значений предметных переменных символы предметных переменных х, у, z, стано­вятся именно переменными лишь при указании области их возможных значений. Предполагается, что на области D определено некоторое множество свойств, отношений и характеристик предметно-функционального типа (то есть возможных значений предикаторов и предметных функторов).

Второй момент интерпретации языка состоит в задании некоторой функции 

 (интерпретационная функция) приписывания значений дескриптивным постоянным (предметным константам, предикаторам, предметным функторам опять-таки в составе рассматриваемых формул). Задание 

 в каж­дом конкретном случае представляет собой просто указание на то, какие значения должны быть приписаны упомянутым исходным символам языка в составе рассматриваемых формул. При этом предметным константам (простые постоянные термы) приписываются в качестве предметных значений определенные предметы из заданной области D. Предикатно­му (n-местному) символу P¸ⁿ  при n =1 в качестве значения приписываются некоторые свойства а при n > 1 — n-местное отношение (между предметами В). Например, если область D есть множество целых положительных чисел, то предикат­ному символу P¹₁  можно приписать в качестве значения свойство «четно», а предикатору P²₁  отношение «больше» или «меньше». Предметному функтору fⁿ₁   в качестве пред­метного значения функция 

приписывает какую-нибудь n-местную предметную функцию, определенную на обла­сти D. Например, для области чисел таковыми могут быть си­нус, косинус (одноместные функции), сумма, произведение (двухместные функции), для области людей — одноместные (возраст, рост), для области материальных тел — объем, удельный вес.

Значения сложных термов, каковыми являются также предметы из области D, и приписывание которых составляет их интерпретацию, вычисляются в зависимости от припи­санных уже значений их простым составляющим — пред­метным константам, предметным функторам, а также и воз­можным предметным переменным, значения которых при­писываются по правилам II. Вычисление происходит в соот­ветствии с правилами построения сложного терма. Сложные термы образуются, как мы видели, с применением предмет­ных функторов и строятся индуктивно. Значение такого тер­ма вычисляется последовательно в соответствии с порядком его построения.

Пример. Имеем терм f²₁(f²₁(a₁ , a₂), f²₂(a₁, a₃)).

 Пусть область D — целые положительные числа, a₁  есть число 3, a₂  =4, a₃  = 5, f²₁  — сумма, f²₂   — произведение.

Тогда

f²₁(a₁ , a₂)=7;

f²₂(a₁, a₃)=15;

f²₁(f²₁(a₁ , a₂), f²₂(a₁, a₃))=22.