Непрерывность f. Кратко

у=f(х) х=х0+Δх. Δf=f(х)-f(х0)=f(х0+Δх)-f(х0); f(х)=f(х0)+ Δf. О. f f(х) наз непрерывной в Ÿ х0, if она опр в этой Ÿ и в неd ее окрестности и lim Δf=0(Δхè0).( Δхè0) lim (f(х0+ Δх)-f(х0))=0, lim f(х0+ Δх)=f(х0). хèх0 lim f(х)=f(х0)è lim f  в Ÿ=значению в этой Ÿ. Zb у=х2 докажем, что f непрерывна в Ÿх0. Δf=(х0+ Δх)2-х02=х02+2х0Δх+(Δх)2-х02=2х0Δх+(Δх)2.  lim Δf{xè0}=l (2x0Δx+(Δx)2)=0. Т. If f f1 и f2 непрерывны в Ÿ х0, то их Σ тоже непрерывна в Ÿ х0. Д. φ(х)=f1(х)+f2(х). {xèx0}lim φ(x)=lim(f1(x)+f2(x))=Lim f1(x)+lim f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=φ(x0). Следствие:Т справедлива для " конечного числа слагаемых. Т1. произведение 2 непрерывных f будет есть непрерывная f. 2. частное 2 непрерывных f будет непрерывной f, if знаменатель не обращается в 0. 3. if f u=f(х)непрерывна в Ÿ х0 и f f(u) непрерывна в Ÿ u0=φ(х), то сложная f  f(φ(u))непрерывна в Ÿ х0. Т. Всякая элементарная  f непрерывна в каждой Ÿ в d она определена (sin,log…). О. if f f(х) непрерывна в каждой Ÿ неd интервала (a;b), то говорят что она непрерывна на этом интервале. О. if f определена при х=а и lim f(х)=f(а) {xèa+}, то говорят что f непрерывна в Ÿ а справа, аналогично слева. О. if f(х) непрерывна в каждой Ÿ интервала (a;b), в Ÿ а непрерывна справа, f в Ÿ в слева(а<в ), то говорят, что f f непрерывна на отрезке (a;b). О. if в Ÿ х0 не выполняется АО крайней мере 1 из условий непрерывной, т.е. if при х=х0 f неопределенна или не существует lim f(х){xèx0} or он ≠ значению f в Ÿ, то говорят, что f разрывна в Ÿ х0. Ÿ х0 в э том случае Ÿ разрыва f.