Логическое следование

Как и в логике высказываний, мы говорим, что для вы­сказываний A₀ и B₀ (выраженных теперь в описанном языке логики предикатов), имеет место отношение логического следования A₀ ⊨ B₀, если и только если оно имеет место для формул А и В1 представляющих собой логические формы указанных высказываний.

Последнее получается из A₀ и B₀  просто отвлечением от имеющихся значений их дескриптивных терминов. При этом, возможно, что A₀ или B₀   ,а также и то и другое, содер­жат свободные переменные и трактуются при этом как вы­сказывания с неопределенными истинностными значениями, в которых подразумевается, что каждая свободная перемен­ная имеет какое-то определенное значение (во всех местах, где она встречается в том или ином выводе или доказатель­стве, или вообще в некотором рассуждении).

Очевидно, что в упомянутых высказываниях со свободными переменными эти переменные имеют условную интерпретацию, которой мы будем придерживаться и в дальнейшем, хотя не ис­ключаем возможность употребления таких высказываний, напри­мер в выводах и доказательствах с интерпретацией всеобщности их свободных переменных. Строго говоря, именно условная интер­претация соответствует понятию логического следования. А в слу­чае интерпретации всеобщности при построении выводов и дока­зательств, требуются особые ограничения.

Отношение следования между формулами A₀ ⊨ B₀  имеет место е. т. е. при любой интерпретации дескриптивных тер­минов в А и В и при любых приписываниях значений сво­бодным переменным при истинности первого истинно и вто­рое, иначе говоря, ложно первое или истинно второе. Имеет­ся в виду при этом, что, во-первых, если некоторый дескрип­тивный термин каким-то образом интерпретирован в А, то таким же образом он интерпретирован и в В (конечно, при наличии его в этой формуле), а, во-вторых, всем свободным вхождениям одной и той же переменной в А и В приписыва­ется одно и то же значение. Из множества высказываний Г ₀

следует высказывание  B ₀ если и только если это отношение имеет место соответствен­но между множеством формул Г и В, представляющих собой логические формы упомянутых высказываний. Последнее же отношение Г ⊨В  имеет место, е. т. е. в составе Г имеется конечное подмножество формул А1, ..., Аn (n >= 1) такое, что (А1 & ... & Аn) ⊨ В. Последнее соотношение, как и в логике вы­сказываний, равносильно тому, что из множества высказы­ваний А1, ..., Аn следует В, что в свою очередь указывает на отмеченное ранее — в логике высказываний — свойство отношения следования, состоящее в том, что если некоторое высказывание следует из какого-то множества высказыва­ний, то оно является следствием также любого расширения этого множества.