Формулы. Синтаксис языка логики предикатов

В числе этих выражений имеются аналоги повествовательных предложений естественного языка, а так­же высказывательные формы — предикаты, представляющие собой особую семантическую категорию, которая не выделяется, — по крайней мере, явным образом — в естественном языке.

Определение: а) если  термы и P¸ⁿ  n-мест­ный предикатор, то P¸ⁿ ()  есть формула (атомарная);

б) если А и В — формулы, то (А⊃В), (А&В), (AvB), ¬A — формулы; в) если х есть предметная переменная и А — фор­мула, то ∀ x A и ∃ x A — формулы; г) ничто, кроме указанно­го в пунктах а) — в), не есть формула.

Договоримся в дальнейшем опускать, когда это удобно, внешние скобки в отдельно взятых формулах; например, вместо (А & В) писать просто

А &В.

Использованные в определениях терма и формулы сим­волы  и  f¸ⁿ, P¸ⁿ, A, B, x (и в дальнейшем возможно x₁, x ₂ и т. д.) — знаки метаязыка называемые также син­таксическими переменными, возможными зна­чениями которых являются выражения соответствующей ка­тегории описываемого (объектного) языка.

Формулы А и В, встречающиеся в пунктах б) и в), назы­ваются подформулами указанных здесь формул.

Введенные понятия исходного символа, терма и формулы языка являются эффективными (иначе: рекурсивными). По­следнее означает, что имеется точный способ, с помощью которого всегда можно определить, относится ли некоторый символ к числу исходных символов языка, а для каждой последовательности исходных символов можем определить, представляет ли  она терм или формулу. Для термов и формул такой способ заключен в их индуктивных определениях. Так, в каждой формуле, содержащей логические константы (знаки логических операций), имеется главная, или, что то же, последняя, в построении формулы операции. Выделив  ее, мы выделяем тем самым собственные подформулы этой формулы. В последних снова выделяем главную операцию и так далее, пока не дойдем до какой-либо атомарной форму­лы. Если в процессе такого анализа исходного выражения в какой-либо части его, не являющейся атомарной формулой, нельзя выделить знак главной операции, то эта часть не яв­ляется формулой, а следовательно, таковой не является все выражение. Возможность распознавания атомарных формул среди последовательностей символов является очевидной. (При констатации эффективности введенных понятий подразумевается так называемая абстракция отождествления согласно которой все различные случаи употребления некото­рого символа, например а, рассматриваются как различные экземпляры, одного и того же символа, и предполагается, что мы умеем узнавать символ, несмотря на некоторые, всегда имеющиеся различия в его написаниях.)